Zadania Egzaminacyjne z Proporcji z Rozwiązaniami
Zadania egzaminacyjne z proporcji z rozwiązaniami
Ten materiał zawiera zestaw zadań typowych dla sprawdzianów i egzaminów. Na początku masz krótkie przypomnienie wzorów i prostą procedurę obliczeń, a następnie zadania zamknięte z odpowiedziami oraz zadania otwarte z pełnymi rozwiązaniami zapisanymi wzorami. Wszystko jest ułożone tak, aby bez zbędnych słów przejść od treści do obliczeń i wyniku.
Przypomnienie podstaw i wzorów
Proporcja bezpośrednia to równość dwóch stosunków: \( A:B = C:D \), czyli \( \frac{A}{B} = \frac{C}{D} \).
Z tego wynika równość iloczynów \( A \cdot D = B \cdot C \). Na tej podstawie wyznaczasz brakującą wartość: \( D = \frac{B \cdot C}{A} \), \( C = \frac{A \cdot D}{B} \), \( B = \frac{A \cdot D}{C} \), \( A = \frac{B \cdot C}{D} \).
Po każdym obliczeniu wykonaj prostą kontrolę: porównaj \( \frac{A}{B} \) oraz \( \frac{C}{D} \). Ilorazy powinny być równe w granicach przyjętego zaokrąglenia.
Zadania zamknięte z odpowiedziami
Do każdego zadania podane są cztery odpowiedzi. W kolumnie z wynikiem wskazano prawidłową odpowiedź i krótki zapis rachunku.
| # | Treść | Odpowiedzi | Wynik |
|---|---|---|---|
| 1 | 8 sztuk kosztuje 24 zł. Ile kosztuje 13 sztuk przy tej samej cenie jednostkowej | A 36 zł B 39 zł C 40 zł D 42 zł | B, \( x = \frac{24 \cdot 13}{8} = 39 \) zł |
| 2 | Skala 1 do 50. Na rysunku 7 cm. Jaki wymiar rzeczywisty | A 3 m B 3,5 m C 350 cm D 280 cm | C, \( x = 7 \cdot 50 = 350 \) cm |
| 3 | 750 g kosztuje 12 zł. Ile kosztuje 1 kg | A 15 zł B 16 zł C 18 zł D 20 zł | B, \( x = \frac{12 \cdot 1000}{750} = 16 \) zł |
| 4 | Na 2 l farby dodajesz 0,1 l rozcieńczalnika. Ile rozcieńczalnika na 7,5 l farby | A 0,25 l B 0,3 l C 0,375 l D 0,5 l | C, \( x = \frac{0{,}1 \cdot 7{,}5}{2} = 0{,}375 \) l |
| 5 | 8 muffinek wymaga 120 ml mleka. Ile mleka na 14 muffinek | A 180 ml B 200 ml C 210 ml D 240 ml | C, \( x = \frac{120 \cdot 14}{8} = 210 \) ml |
| 6 | Zdjęcie 12 na 8 cm powiększono tak, że dłuższy bok ma 30 cm. Jaki będzie krótszy bok | A 18 cm B 19 cm C 20 cm D 22 cm | C, \( x = \frac{8 \cdot 30}{12} = 20 \) cm |
| 7 | Auto spala 6 l na 100 km. Ile spali na 350 km | A 18 l B 20 l C 21 l D 24 l | C, \( x = \frac{6 \cdot 350}{100} = 21 \) l |
| 8 | Na 4 kg prania potrzeba 50 g proszku. Ile proszku na 13 kg | A 150 g B 162,5 g C 175 g D 200 g | B, \( x = \frac{50 \cdot 13}{4} = 162{,}5 \) g |
| 9 | 24 sztuki kosztują 57,60 zł. Ile kosztuje 60 sztuk | A 120 zł B 140 zł C 144 zł D 150 zł | C, \( x = \frac{57{,}60 \cdot 60}{24} = 144 \) zł |
| 10 | Skala 1 do 100000. Na mapie 3 cm. Jaki dystans w terenie | A 2 km B 2,5 km C 3 km D 3,5 km | C, \( s = 3 \cdot 100000 \) cm czyli 3 km |
| 11 | Roztwór 5 procent. 100 ml zawiera 5 ml substancji. Ile substancji w 350 ml | A 15 ml B 17,5 ml C 20 ml D 25 ml | B, \( x = \frac{5 \cdot 350}{100} = 17{,}5 \) ml |
| 12 | Stosunek przypraw 3 do 2. Użyto 30 g papryki. Ile dodać ziół | A 15 g B 18 g C 20 g D 22 g | C, \( x = \frac{2 \cdot 30}{3} = 20 \) g |
| 13 | Jedna puszka pokrywa 1,8 m². Ile puszek na 9 m² | A 4 B 5 C 6 D 7 | B, \( x = \frac{9}{1{,}8} = 5 \) |
| 14 | 3,2 kWh kosztuje 4,80 zł. Ile kosztuje 7,5 kWh przy tej samej stawce | A 10,80 zł B 11,25 zł C 12,00 zł D 12,50 zł | B, \( x = \frac{4{,}80 \cdot 7{,}5}{3{,}2} = 11{,}25 \) zł |
| 15 | Na 2 m² ściany zużyto 180 cegieł. Ile cegieł potrzeba na 7,5 m² | A 540 B 650 C 675 D 700 | C, \( x = \frac{180 \cdot 7{,}5}{2} = 675 \) |
Zadania otwarte z pełnymi rozwiązaniami
Każde zadanie ma czytelną ścieżkę obliczeń w ramce z wzorami. Po rozwiązaniu masz krótką kontrolę przez porównanie ilorazów lub szybkie podstawienie liczby do pierwotnej równości.
Zadanie 1
Przepis dla 4 osób wymaga 600 g makaronu. Ile makaronu potrzeba dla 7 osób
\( \frac{600}{4} = \frac{x}{7} \Rightarrow x = \frac{600 \cdot 7}{4} = 1050 \) g.
Kontrola. \( 600/4 = 150 \) i \( 1050/7 = 150 \).
Zadanie 2
Skala 1 do 50. Na rysunku wymiary elementu to 4,6 cm. Oblicz wymiar rzeczywisty.
\( x = 4{,}6 \cdot 50 = 230 \) cm.
Kontrola. \( \frac{4{,}6}{1} = \frac{230}{50} \).
Zadanie 3
750 g kosztuje 12 zł. Ile kosztuje 2,4 kg w tej samej cenie jednostkowej
\( \frac{12}{750} = \frac{x}{2400} \Rightarrow x = \frac{12 \cdot 2400}{750} = 38{,}4 \) zł.
Kontrola. \( 12/750 = 0{,}016 \) zł g i \( 38{,}4/2400 = 0{,}016 \) zł g.
Zadanie 4
Roztwór 5 procent. 100 ml zawiera 5 ml substancji. Ile substancji będzie w 1,2 l tego samego roztworu
\( \frac{5}{100} = \frac{x}{1200} \Rightarrow x = \frac{5 \cdot 1200}{100} = 60 \) ml.
Kontrola. \( 5 100 \) i \( 60 1200 \) dają ten sam stosunek 0,05.
Zadanie 5
Jedna puszka farby pokrywa 1,8 m². Ile puszek trzeba na 13,5 m²
\( \frac{1{,}8}{1} = \frac{13{,}5}{x} \Rightarrow x = \frac{13{,}5}{1{,}8} = 7{,}5 \). Potrzeba 8 puszek, bo kupujesz liczbę całkowitą.
Kontrola. \( 8 \cdot 1{,}8 = 14{,}4 \) m² pokryje powierzchnię z zapasem.
Zadanie 6
W sklepie A 900 g kawy kosztuje 27 zł. W sklepie B 1 kg kosztuje x zł. Przy tej samej cenie jednostkowej wyznacz x.
\( \frac{27}{900} = \frac{x}{1000} \Rightarrow x = \frac{27 \cdot 1000}{900} = 30 \) zł.
Kontrola. \( 27/900 = 0{,}03 \) zł g i \( 30/1000 = 0{,}03 \) zł g.
Zadanie 7
Na 4 kg prania potrzeba 50 g proszku. Ile proszku potrzeba na 18 kg prania
\( \frac{50}{4} = \frac{x}{18} \Rightarrow x = \frac{50 \cdot 18}{4} = 225 \) g.
Kontrola. \( 50/4 = 12{,}5 \) g kg i \( 225/18 = 12{,}5 \) g kg.
Zadanie 8
Wydruk ma mieć szerokość 30 cm przy zachowaniu formatu 3 do 2. Oblicz wysokość.
\( \frac{3}{2} = \frac{30}{x} \Rightarrow x = \frac{30 \cdot 2}{3} = 20 \) cm.
Kontrola. \( 30 20 \) daje format 3 do 2.
Zadanie 9
Z 25 kg mąki wychodzi 40 bochenków. Ile bochenków wyjdzie z 62,5 kg
\( \frac{40}{25} = \frac{x}{62{,}5} \Rightarrow x = \frac{40 \cdot 62{,}5}{25} = 100 \) bochenków.
Kontrola. \( 40/25 = 100/62{,}5 = 1{,}6 \) bochenka na kg.
Zadanie 10
Agregat spala 0,7 l na godzinę. Ile spali w 52 godzinach pracy
\( \frac{0{,}7}{1} = \frac{x}{52} \Rightarrow x = 0{,}7 \cdot 52 = 36{,}4 \) l.
Kontrola. Proporcja jest liniowa, więc wynik rośnie wprost z czasem.
Zadanie 11
Syrop do wody 1 do 7. Masz 180 ml syropu. Ile wody trzeba dodać
\( \frac{1}{7} = \frac{180}{x} \Rightarrow x = 180 \cdot 7 = 1260 \) ml. Wody potrzeba 1260 ml, a całość to 1440 ml.
Kontrola. Stosunek syropu do wody \( 180 1260 \) to 1 do 7.
Zadanie 12
W klasie 12 z 30 uczniów zdało próbny test na poziomie podstawowym. Jaki wynik procentowy to reprezentuje i ile osób to będzie w grupie 45 uczniów przy tym samym udziale
Udział \( p = \frac{12}{30} = 0{,}4 \) czyli 40 procent. W grupie 45 uczniów liczba zdających \( x = 0{,}4 \cdot 45 = 18 \).
Kontrola. Proporcja \( \frac{12}{30} = \frac{18}{45} \).
Najczęstsze pułapki i krótka kontrola
Zamiana miejsc w stosunku zmienia wynik. Zapisuj A B C D w jednej linii, dopiero potem podstawiaj do wzoru.
Brak zgodności jednostek prowadzi do błędu. Ujednolicaj gram z kilogramem, centymetr z metrem, mililitr z litrem przed obliczeniem.
Zaokrąglaj na końcu. W trakcie licz z pełną precyzją i dopiero wynik prezentuj z sensowną liczbą miejsc po przecinku.
Po obliczeniu porównaj ilorazy. To najszybszy test poprawności proporcji.
