Podobieństwo Figur i Skala Pól
Ta sekcja wyjaśnia podobieństwo figur oraz skalę pól. Najpierw dostajesz definicję i czyste wzory, potem tabele z przykładami i zadania z rozwiązaniami. Całość pokazuje, jak z jednego współczynnika skali długości otrzymać współczynnik skali obwodu i pola bez dodatkowych sztuczek.
Definicja podobieństwa i współczynnik skali
Dwie figury są podobne, gdy odpowiadające sobie kąty są równe, a odpowiadające sobie boki są proporcjonalne ze wspólnym współczynnikiem skali \( k \).
Warunek można zapisać jako \( \frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c_2}{c_1} = k \). Z tego wynika skala obwodu \( P_2 = k \cdot P_1 \) oraz skala pola \( S_2 = k^2 \cdot S_1 \).
W praktyce najpierw wyznaczasz \( k = \frac{\text{długość w figurze drugiej}}{\text{długość w figurze pierwszej}} \), a potem korzystasz z \( P \) i \( S \) zgodnie z powyższymi wzorami.
Skala pól wprost z podobieństwa
Jeżeli wszystkie długości rosną \( k \) razy, to pole rośnie \( k^2 \) razy. Ten efekt wynika z faktu, że pole w figurach płaskich jest w jednostkach kwadratowych, więc skala działa podwójnie na osiach. Poniżej znajduje się wykres zależności pola po skalowaniu od pola wyjściowego dla przykładowego \( k = 1{,}5 \) co daje nachylenie \( k^2 = 2{,}25 \).
Tabele porównawcze dla długości obwodu i pola
Tabele zestawiają wspólny współczynnik skali długości z odpowiadającą mu skalą obwodu i pola. W każdym wierszu masz prosty zapis wzoru i wynik gotowy do użycia.
| \( k \) skala długości | Skala obwodu | Skala pola | Wzory |
|---|---|---|---|
| 1,2 | \( P_2 = 1{,}2 \cdot P_1 \) | \( S_2 = 1{,}44 \cdot S_1 \) | \( k = 1{,}2 \), \( k^2 = 1{,}44 \) |
| 1,5 | \( P_2 = 1{,}5 \cdot P_1 \) | \( S_2 = 2{,}25 \cdot S_1 \) | \( k = 1{,}5 \), \( k^2 = 2{,}25 \) |
| 2 | \( P_2 = 2 \cdot P_1 \) | \( S_2 = 4 \cdot S_1 \) | \( k = 2 \), \( k^2 = 4 \) |
| 3 | \( P_2 = 3 \cdot P_1 \) | \( S_2 = 9 \cdot S_1 \) | \( k = 3 \), \( k^2 = 9 \) |
Przykłady krok po kroku
Rysunek techniczny
Skala długości wynosi \( k = 1{,}5 \). Obwód detalu rośnie \( 1{,}5 \) razy, a pole rośnie \( 2{,}25 \) razy. Jeśli pierwotnie \( P_1 = 80 \) cm, a \( S_1 = 120 \) cm², to po skalowaniu \( P_2 = 120 \) cm oraz \( S_2 = 270 \) cm².
\( P_2 = k \cdot P_1 = 1{,}5 \cdot 80 = 120 \), \( S_2 = k^2 \cdot S_1 = 2{,}25 \cdot 120 = 270 \).
Skala mapy i powierzchnia
Na mapie w skali 1 do 25000 prostokąt ma wymiary 4 cm na 3 cm. W terenie długości rosną \( k = 25000 \) razy. Pole rośnie \( k^2 \) razy. Liczymy pole na mapie i mnożymy przez \( k^2 \).
\( S_{map} = 4 \cdot 3 = 12 \) cm², \( S_{teren} = 12 \cdot 25000^2 \) cm² \( = 12 \cdot 625000000 \) cm² \( = 7{,}5 \cdot 10^9 \) cm² \( = 750000 \) m² \( = 0{,}75 \) km².
Fotografia i kadrowanie
Zdjęcie 12 cm na 8 cm powiększasz tak, aby krótszy bok miał 20 cm. Współczynnik skali długości wynosi \( k = \frac{20}{8} = 2{,}5 \). Pole rośnie \( k^2 = 6{,}25 \) razy.
\( S_1 = 12 \cdot 8 = 96 \) cm², \( S_2 = 6{,}25 \cdot 96 = 600 \) cm². Dłuższy bok po powiększeniu ma \( 12 \cdot 2{,}5 = 30 \) cm.
Figura wielokąta
Dwa pięciokąty są podobne z \( k = 1{,}2 \). Jeżeli pole mniejszego wynosi \( 150 \) cm², to pole większego to \( 150 \cdot 1{,}44 = 216 \) cm². Obwód rośnie tylko \( 1{,}2 \) razy, co łatwo przeliczyć na sumie boków.
\( S_2 = k^2 \cdot S_1 = 1{,}44 \cdot 150 = 216 \), \( P_2 = k \cdot P_1 \).
Dodatkowy wykres dla obwodu
Obwód skaluje się liniowo. Gdy \( k = 1{,}5 \), prosta ma nachylenie \( 1{,}5 \). Wykres poniżej pokazuje zależność obwodu po skalowaniu od obwodu wyjściowego.
Procedura weryfikacji podobieństwa
Najpierw porównaj kąty. Jeżeli odpowiadające kąty są równe, możesz przejść do boków. Następnie policz iloraz jednych odpowiadających boków i sprawdź, czy ten sam iloraz dostajesz na innej parze. Jeżeli ilorazy są równe, współczynnik skali jest dobrze wyznaczony.
Po znalezieniu \( k \) oblicz obwód i pole. Użyj \( P_2 = k \cdot P_1 \) oraz \( S_2 = k^2 \cdot S_1 \). Na końcu oceń sens wyniku. Pole powinno rosnąć szybciej niż obwód, co jest naturalne przy skalowaniu w dwóch wymiarach.
Zadania z rozwiązaniami
W tabeli znajdują się zadania z pełnym zapisem wzoru i odpowiedzią. Każde zadanie można przepisać do własnego zeszytu i wykorzystać jako wzór liczenia.
| # | Treść | Wzór | Wynik |
|---|---|---|---|
| 1 | Trójkąty podobne z \( k = 2 \). Pole mniejszego \( 18 \) cm². Oblicz pole większego. | \( S_2 = k^2 \cdot S_1 = 4 \cdot 18 \) | 72 cm² |
| 2 | Kwadraty podobne. Obwód większego to \( 60 \) cm, obwód mniejszego to \( 40 \) cm. Znajdź \( k \) i stosunek pól. | \( k = \frac{60}{40} = 1{,}5 \), \( \frac{S_2}{S_1} = k^2 = 2{,}25 \) | \( k = 1{,}5 \), stosunek pól \( 2{,}25 \) |
| 3 | Prostokąty podobne. Krótszy bok rośnie z \( 6 \) cm do \( 9 \) cm. \( k = \frac{9}{6} \). Pole początkowe \( 48 \) cm². Oblicz pole po skalowaniu. | \( k = 1{,}5 \), \( S_2 = 2{,}25 \cdot 48 \) | 108 cm² |
| 4 | Sześciokąty foremne podobne. Długość boku rośnie z \( 10 \) cm do \( 12 \) cm. Wyznacz stosunek pól. | \( k = \frac{12}{10} = 1{,}2 \), \( \frac{S_2}{S_1} = 1{,}44 \) | Stosunek pól \( 1{,}44 \) |
| 5 | Koła podobne z promieniem rosnącym z \( 8 \) cm do \( 20 \) cm. Oblicz stosunek pól. | \( k = \frac{20}{8} = 2{,}5 \), \( \frac{S_2}{S_1} = 6{,}25 \) | Stosunek pól \( 6{,}25 \) |
| 6 | Trójkąty prostokątne podobne. Przyprostokątna rośnie z \( 12 \) cm do \( 15 \) cm. Pole początkowe \( 90 \) cm². Oblicz pole po skalowaniu. | \( k = \frac{15}{12} = 1{,}25 \), \( S_2 = 1{,}5625 \cdot 90 \) | 140,625 cm² |
| 7 | Dwa wielokąty podobne. Obwód mniejszego \( 72 \) cm. \( k = 1{,}75 \). Jaki jest obwód większego i o ile razy większe jest pole. | \( P_2 = 1{,}75 \cdot 72 \), \( k^2 = 3{,}0625 \) | \( P_2 = 126 \) cm, pole większe \( 3{,}0625 \) razy |
| 8 | Koła podobne. Pole większego to \( 314 \) cm², a \( k = 2 \). Oblicz pole mniejszego. | \( S_1 = \frac{S_2}{k^2} = \frac{314}{4} \) | 78,5 cm² |
| 9 | Kwadraty podobne. Pole mniejszego \( 81 \) cm². Obwód większego to \( 72 \) cm, obwód mniejszego to \( 48 \) cm. Oblicz pole większego. | \( k = \frac{72}{48} = 1{,}5 \), \( S_2 = 2{,}25 \cdot 81 \) | 182,25 cm² |
| 10 | Trójkąty podobne. \( k = 0{,}6 \). Pole większego \( 250 \) cm². Oblicz pole mniejszego. | \( S_1 = \frac{S_2}{k^2} = \frac{250}{0{,}36} \) | 694,444… cm² dla większego odwrotnie, dla mniejszego \( 90 \) cm² gdy \( S_2 = 250 \) cm² |
Najczęstsze pułapki
Mylenie skali obwodu ze skalą pola
Obwód skaluje się przez \( k \), a pole przez \( k^2 \). Jeżeli obie wartości są mnożone przez ten sam współczynnik, wynik będzie zły. Zawsze wpisz \( k \), a potem od razu \( k^2 \) dla pola.
Wyznaczanie \( k \) z niewłaściwych boków
Boki muszą odpowiadać sobie położeniem. Jeżeli porównasz bok z jednej figury z innym bokiem z drugiej, dostaniesz błędny współczynnik skali. Najpierw ustal pary, potem policz iloraz.
Zaokrąglanie zbyt wcześnie
Zaokrąglaj dopiero na końcu. W trakcie obliczeń trzymaj pełną precyzję. Dzięki temu proporcje się nie rozjadą i łatwiej sprawdzisz wynik.
Podsumowanie
Podobieństwo figur sprowadza się do jednego współczynnika skali długości. Obwód rośnie \( k \) razy, pole rośnie \( k^2 \) razy. Wystarczy poprawnie wyznaczyć \( k \), a następnie stosować odpowiednie wzory. Kontrola sensu jest prosta. Pole rośnie szybciej niż obwód przy tym samym skalowaniu, co widać w tabelach i na wykresach.
